1.
O grau de uma função
O grau de uma variável independente é
dado pelo seu expoente. Assim, as funções de segundo grau são dadas por um
polinômio de segundo grau, e o grau do polinômio é dado pelo monômio de maior
grau.
Portanto, as funções de segundo grau têm a
variável independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O
gráfico que corresponde a essas funções é uma curva denominada parábola.
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No dia-a-dia, há muitas situações
definidas pelas funções de segundo grau. A trajetória de uma bola lançada para
a frente é uma parábola. Se fizermos vários furos em várias alturas num bote
cheio de água, os pequenos jorros de água que saem pelos furos descrevem
parábolas. A antena parabólica tem a forma de parábola, originando o seu nome.
2.
Definição
Em geral, uma função quadrática ou
polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:
f (x) = ax2 + bx + c,
onde a
 0 |
Observamos que aparece um termo de
segundo grau, ax2. É essencial que exista um termo de
segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo
grau. Além disso, esse termo deve ser o de maior grau da função, pois se
houvesse um termo de grau 3, isto é, ax3, ou de grau superior,
estaríamos falando de uma função polinomial de terceiro grau.
Assim como os polinômios podem
ser completos ou incompletos, temos funções de segundo grau incompletas, como:
f (x) = x2
f (x) = ax2
f (x) = ax2+
bx
f (x) = ax2 +
c
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Pode acontecer de o termo de segundo
grau aparecer isoladamente, como na expressão geral y = ax2;
acompanhado por um termo de primeiro grau, como no caso geral y = ax2 +
bx; ou também unido a um termo independente ou a um valor constante, como
em y = ax2 + c.
É comum pensarmos que a expressão
algébrica de uma função quadrática é mais complexa que a das funções lineares.
Normalmente, também supomos que sua representação gráfica é mais complicada.
Mas não é sempre assim. Além disso, os gráficos das funções quadráticas são
curvas muito interessantes, conhecidas como parábolas.
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Figura 3
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3.
Representação gráfica da função y = ax2
Como acontece com toda função, para
representá-la graficamente temos, antes, de construir uma tabela de valores
(Figura 3, ao lado).
Começamos representando a função
quadrática y = x2, que é a expressão mais simples da função
polinomial de segundo grau.
Se unirmos os pontos com uma linha
contínua, o resultado é uma parábola, como mostra a Figura 4, abaixo:
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Figura 4
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Observando atentamente a tabela de
valores e a representação gráfica da função y = x2 vamos
perceber que o eixo Y, das ordenadas, é o eixo de simetria do
gráfico.
Além disso, o ponto mais baixo da
curva (aquele em que a curva se intercepta com o eixo Y) é o
ponto de coordenadas (0, 0). Este ponto é conhecido como vértice da parábola.
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Figura 5
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Na Figura 5, ao lado, estão as
representações gráficas de várias funções que têm como expressão geral y
= ax2.
Observando com atenção a Figura 5
podemos afirmar:
• O eixo
de simetria de todos os gráficos é o eixo Y.
Como x2 = (– x)2, a curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
Como x2 = (– x)2, a curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
• A
função y = x2 é crescente para x > xv e
decrescente para x < xv. Trata-se de uma função contínua, pois
para pequenas variações de xcorrespondem pequenas variações de y.
• Todas
as curvas têm o vértice no ponto (0,0).
• Todas
as curvas que estão no semiplano de ordenadas positivas, com exceção do vértice V
(0,0), têm ponto de mínimo que é o próprio vértice.
• Todas
as curvas que estão no semiplano de ordenadas negativas, com exceção do vértice V
(0,0), têm ponto de máximo que é o próprio vértice.
• Se
o valor de a for positivo, os ramos da parábola se dirigem
para cima. Ao contrário, se a for negativo, os ramos se
dirigem para baixo. Dessa forma, o sinal do coeficiente determina a orientação
da parábola:
a > 0, a parábola abre-se para valores positivos de y.
a < 0, a parábola abre-se para valores negativos de y.
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•
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À medida que aumenta o valor absoluto de a,
a parábola é mais fechada, isto é, os ramos ficam mais próximos do eixo de
simetria: quanto maior |a|, mais a parábola se fecha.
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•
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Os gráficos de y = ax2 e y
= –ax2 são simétricos entre si com relação ao eixo X,
das abscissas.
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Figura 6
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